Jakob Bernoulli
Jakob BernoulliJakob Bernoulli (Basilea, 27 de diciembre de 1654 – 16 de agosto de 1705), también conocido como Jacob, Jacques o James Bernoulli, fue un matemático y científico suizo y hermano mayor de Johann Bernoulli (parte de la familia Bernoulli).
Siendo joven su padre Nikolaus Bernoulli, lo envió a la Universidad de Basilea para estudiar filosofía y teología, con el ánimo de que se convirtiera en teólogo. Pero Jakob continuó, a escondidas, las que eran sus auténticas aficiones la física y las matemáticas, según confiesa en su diario.
A partir de los planteamientos de Leibniz desarrolló problemas de cálculo infinitesimal. Fundó en Basilea un colegio experimental.
Durante un viaje a Inglaterra en 1676, Jakob Bernoulli conoció a Robert Boyle y Robert Hooke. Este contacto le inspiró una dedicación vitalicia a la ciencia y la matemática. Fue nombrado Lector en la Universidad de Basilea en 1682, y fue promocionado a Profesor de Matemáticas en 1687.
En 1690 se convirtió en la primera persona en desarrollar la técnica para resolver ecuaciones diferenciales separables.
Se familiarizó con el cálculo mediante su correspondencia con Gottfried Leibniz, y colaboró con su hermano Johann en varias aplicaciones, siendo notable la publicación de artículos en curvas trascendentales (1696) e isoperimetría (1700, 1701).
Su obra maestra fue Ars Conjectandi (el Arte de la conjetura), un trabajo pionero en la teoría de la probabilidad. La publicó su sobrino Nicholas en 1713, ocho años tras su muerte. Los términos ensayo de Bernoulli y números de Bernoulli son resultado de su trabajo. También existe un cráter en la Luna bautizado cráter Bernoulli en honor suyo y de su hermano Johann.
ECUACION DE BERNOULLI
Una ecuación diferencial conocida como ecuación de Bernoulli tiene la forma:
dy/dx +P(x)y=Q(x)Yn
Donde n es cualquier número real.
Multiplicando la ecuación por Y-n se obtiene:
Y-ndy/dx +P(x)Y1-n=Q(x)
Suponiendo que n es diferente de 0 y n diferente de 1 la ecuación puede ser transformada en una ecuación diferencial lineal usando las siguientes sustituciones:
v=Y1-n
derivando esto quedaría:
dv/dx=(1-n)Y-ndy/dx
1/(1-n) dv/dx + P(x)v=Q(x)
dv/dx+(1-n) P(x)v=(1-n)Q(x)
la cual es una ecuación diferencial lineal en v.
ejemplo:
resuelva la siguiente ecuación diferencial de bernoulli:
dy/dx +Y=xY3
se multiplica primero la ecuación por Y−3
Y−3dy/dx + YS-2=x
dado que n=3 se realizan las sustituciones
Y−3dy/dx+ Y−2=x
v=Y−2
dv/dx=−2Y−3dy/dx
después se despeja lo que está en Y
quedaría:
-1/2dv/dx=Y−3dy/dx
se sustituye en donde este la Y
-1/2dv/dx +v=x
se despeja para dejar solo dv/dx
dv/dx −2v=−2x
cuando ya esta así
se empieza a resolver por la forma que ya conocemos
F(x)=−2 r(x)=−2x
v=℮-⌡−2dx [⌡℮⌡−2dx r(x) dx]
v=℮2x [⌡℮−2x −2x dx]
v=℮2x [x℮−2x -⌡−1/2℮−2x −2 dx + c]
v=℮2x [x℮−2x +1/2℮−2x + c]
v=X+1/2+c℮2x
como
v=Y−2
quedaría:
1/Y2=x+1/2+c℮2x
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